Combien de fois par jour les aiguilles d’une montre se chevauchent-elles ?

Question classique (utilisée par certains recruteurs), la réponse n’est pas évidente et la voici...

Tout d’abord il convient de préciser un peu la question :

• on va supposer que « par jour » on entends "sur une période de 24h)
• on va supposer que le mouvement des aiguilles est continu (par exemple que l’aiguille des heures ne saute pas directement de h à h+1)

Commençons par le cas d’une montre à deux aiguilles (sans trotteuse) :

Intuitivement on a envie de répondre 24 ou 25 en considérant que les aiguilles se croisent à 0h00, 1h05, 2h10 : 24 si on ne compte qu’une fois le chevauchement de 0h00, 25 si on compte à 0h00 et Minuit, ce qui revient en fait à compter 2 fois le même chevauchement.

Cependant, dans ce raisonnement on néglige le fait que les deux aiguilles avancent. Ainsi, si un premier chevauchement à bien lieu à 0h00 (les 2 aiguilles sont sur le « 12 »), le suivant à lieu à 1h 5 minutes et 27 secondes. Les heures de chevauchement sont donc :

1. 0h 0m 0s
2. 1h 5m 27s
3. 2h 10m 54s
4. 3h 16m 21s
5. 4h 21m 49s
6. 5h 27m 16s
7. 6h 32m 43s
8. 7h 38m 10s
9. 8h 43m 38s
10. 9h 49m 5s
11. 10h 54m 32s
12. 12h
13. 13h 5m 27s
14. 14h 10m 54s
15. 15h 16m 21s
16. 16h 21m 49s
17. 17h 27m 16s
18. 18h 32m 43s
19. 19h 38m 10s
20. 20h 43m 38s
21. 21h 49m 5s
22. 22h 54m 32s
23. 24h

Le dernier chevauchement est en fait un doublon du premier. Pour vous en convaincre comptez le nombre de chevauchement sur 24h en commençant à 0h01, il y en a 22.

La bonne réponse est donc 22 !

Et si il y a une trotteuse ? En fait les 3 aiguilles ne sont parfaitement alignées qu’à 0h00 et à 12h00, soit 2 fois par jour...